Введение в теорию программирования. Функциональный подход


Теория типов и комбинаторная логика


Рассмотрим построение системы типизации на основе комбинаторной логики.

В математике принято называть типами (или, иначе, сортами) относительно устойчивые и независимые совокупности элементов, которые можно выделить во всем рассматриваемом множестве (предметной области). Заметим, что разделение элементов предметной области на типы или сорта во многом является условным и носит субъективный характер, т.к. зависит от эксперта в этой области.

Тип, подобно множеству, может определяться двояко.

Во-первых, возможно определение типа посредством явного перечисления всех элементов, принадлежащих типу (заметим, что такой подход применяется и в математике, и в программировании, где существуют так называемые перечислимые типы).

Другим способом определения типа  T является формализация общих свойств тех элементов d из предметной области D, которые объединяются в этот тип, посредством задания индивидуализирующей предикатной функции Y, значение которой истинно, если элемент принадлежит данному типу и ложно в противном случае:

T = {d: D|?}.

При более формальном подходе к теории типов и типизации в связи с исчислением ламбда-конверсий следует определить чистую систему типов.

Чистой системой типов называется семейство ламбда-исчислений, в которых каждый элемент характеризуется тройкой

<S, A, R>,

где:

S - подмножество констант, называемых сортами;

A - множество аксиом вида c:s, где с является константой, а s является сортом;

R - множество троек сортов, определяющих возможные функциональные пространства и их сорта для системы.

Далее введем обозначение, характеризующее то обстоятельство, что тот или иной объект является типизированным, или, иначе говоря, что тому или иному объекту приписан тип.

В частности, для ламбда-терма M  приписывание ему типа  T обозначим как

#M ||- T

и будем в таком случае говорить, что ламбда-терм M имеет тип  T.

При более общем подходе, который верен и для математики, и для программирования, система типов формируется следующим образом.

Во-первых, задается множество базисных типов (обозначим их символами d1




Начало    Вперед



Книжный магазин